Специальные средства визуализации и звука

Системы Mathematica содержат множество средств, повышающих наглядность представления (визуализации) результатов вычислений — как простых, так и сложных. К ним можно отнести особые виды трехмерной графики, используемые при параметрическом задании поверхностей, в том числе пересекающихся в пространстве, а также графики объемных фигур — полиэдров. Возможности визуализации расширяются при использовании импортируемых рисунков и вставки графических объектов. К специфическим приемам визуализации относится и применение звуковых объектов, способных генерировать и воспроизводить звуки при наличии в компьютере звуковой карты.

Параметрическая трехмерная графика

Особый шик построениям трехмерных фигур и поверхностей придает функция ParametricPlot3D, в которой предусмотрено параметрическое задание всех трех функций, описывающих координаты точек. Каждая из функций, задающих координаты точек, является функцией двух переменных.

Функция ParametricPlot3D используется в следующих видах:

PararnetricPlot3D[ {fx, fy, fz}, {t, tmin, tmax}, {u, umin, umax} ] — строит трехмерную поверхность, параметризованную по t и u;
ParametricPlot3D[{fx, fy, fz}, {t, tmin, tmax}] — создает трехмерную пространственную кривую, параметризованную переменной t, которая изменяется от tmin до tmax;
ParametricPlot3D[ { fx, fy, fz, s},...] — выполняет затенение графика в соответствии с цветовой спецификацией s;
ParametricPlot3D[ { {fx, fy, fz}, {gx, gy, gz},...},...] — строит несколько объектов вместе.

Эта функция имеет множество опций, которые можно вывести с помощью команды Options [ParametricPlotSD]. Большая часть из них уже рассматривалась ранее. При этом даже при использовании только опций, заданных по умолчанию, можно получить любопытные построения. На рис. 8.29 показан простой пример применения функции ParametricPlot3D для построения замкнутой линии, расположенной в пространстве. Это, так сказать, объемный вариант, фигур Лиссажу, построение которых было описано ранее.

Параметрическое задание функций позволяет легко строить сложные пространственные фигуры, визуально весьма напоминающие реальные объекты.
Покажем это на трех характерных примерах.

Рис. 8.29. Построение пространственной кривой, заданной в параметрической форме

Первым примером может служить фигура «рог изобилия», показанная на рис. 8.30. По существу, это раскручивающаяся объемная спираль, диаметр которой постепенно нарастает.

Рис. 8.30. Построение фигуры «рог»

Другой пример — объемное кольцо с сечением, напоминающим знак бесконечности (бесконечность). Результат построения показан на рис. 8.31. Обратите внимание на интересный эффект — из кольца удален сектор, что позволяет рассмотреть его внутреннее строение. Все, что потребовалось для создания этого эффекта, — это задать верхний предел изменения переменной t равным 2л - 0.6. Если сделать этот предел равным 2л, то кольцо станет непрерывным.

Рис. 8.31. Построение кольца с удаленным сектором

Рис. 8.32. Построение сферы с удаленным сегментом

Третий пример такого рода — построение объемной сферы. Этот пример показан на рис. 8.32. Здесь также использован прием изменения значений переменной t для получения выреза сегмента сферы. Опять-таки, задав изменение t от 0 до 2л, можно получить построение всей сферы без выреза.

Любопытно отметить, что описанные приемы создания вырезов в объемных фигурах позволяют наблюдать внутреннюю часть фигур, которая обычно (без вырезов) не видна. Это делает описанный прием построения фигур с вырезом достаточно продуктивным.

Построение фигур, пересекающихся в пространстве

Пожалуй, наиболее впечатляющими являются построения трехмерных фигур, пересекающихся в пространстве. Для этого достаточно представить каждую фигуру в виде графического объекта, а затем с помощью директивы Show вывести их на одном графике. При этом Mathematica автоматически рассчитывает линии пересечения фигур и строит график так, чтобы заслоненные ячейки фигур не были видны.

Проиллюстрируем это на примере. На рис. 8.33 показано задание и построение одного графического объекта gl — объемной спирали, полученной сворачиванием ленты.

Рис. 8.33. Построение объекта gl — объемной спирали

Второй объект, построение которого представлено на рис. 8.34, — это объемное кольцо. Его построение было описано выше. В конце части документа, показанного на рис. 8.34, задана функция Show для вывода объектов на одном графике.

Рис. 8.34. Построение объекта g2 — объемного кольца с удаленным сегментом

Рисунок 8.35 демонстрирует комбинированный график, построенный функцией Show. Он показывает кольцо, через отверстие которого проходит объемная спираль. Вырез в кольце показывает, как спираль проходит внутри кольца.

Рис. 8.35. Построение комбинированного объекта — спираль проходит внутри кольца

Графики такого типа дают большие возможности визуализации трехмерных поверхностей и фигур.

Содержание раздела